函子和线性变换 ​

在 Part1 中，我们已经介绍过空间 Space 的概念，但我们多是通过构造性的方法来处理空间中的点。现在，让我们来考虑空间之间的变换。

简单的空间变换 ​

如果你有一个空间，你可以对这个空间做很多变换：离散、偏移、甚至是旋转等。比如离散变换，也就是把空间中的每个向量的坐标分量全都乘上一个倍数，我们可以很轻松地写出这个函数：

const diffusion = (points: Space, factor: number) =>
  points.map((b) => new Point(b.x * factor, b.y * factor, b.z * factor));

这是一个非常优雅的实现方式，它利用 map （类似 forEach ）来遍历空间中的每一个点，并将坐标分量乘上一个系数。几何直观上看，就是这个空间中的点被扩散开了。

类似的，我们也可以很轻松地实现对称（也就是把整个空间关于原点翻转）：

const symmetry = (space: Space) =>
  space.map((b) => new Point(-b.x, -b.y, -b.z));

你是否注意到了这些函数具有的一个共同结构？ 在上面的例子中， Point 的每个分量都用与参与 和 运算，我们能否写出一个抽象结构来概括它？很显然是可以的。首先，上面涉及到的运算都具有 number => number 的结构，所以我们定义一个 fmap 函数概括它们：

const fmap = (fn: (p: number) => number) => (p: Point) =>
  new Point(fn(p.x), fn(p.y), fn(p.z));

自然就可以改写上面的两个函数：

const diffusion = (space: Space, factor: number) =>
  space.map(fmap((y) => y * factor));

const symmetry = (space: Space) => space.map(fmap((y) => -y));

函子 ​

这个 fmap 函数是如何想到的呢？ 在范畴论里，它是一个很常见的结构，我们将其称之为函子（Functor）。当然不用担心，你完全不需要具备范畴论的知识就能理解它。

我们可以把函子想象成一种特殊的函数（或者构造器），它可以将某个函数进行升格（Lift），使它能够应用于更复杂的数据结构。

就以 diffusion 函数中的 (y) => -y 为例子，它的类型签名是 (n: number): number ，而我们通过 fmap 升格后它的类型就变成了 (p:Point): Point 。

为什么我们需要一个签名为 (n: number): number 的函数来升格？这里我举个不是很恰当的比喻：把 Point 当成一个容器。回顾 Point 的定义，它包括三个属性 x,y,z:number ，我们可以把它当作容器内的物品。函子可以把容器中的物品取出，进行变换后再放回容器中去，而我们要操作 number 就必须通过 (n: number): number 类型的函数。

函子律 ​

函子具有非常良好的性质，我们称为函子律：

（记号说明： 为包含类型 的容器结构， 、 、 是函数）

• 单位律：
  • 恒等函数升格之后仍是恒等函数
• 结合律：
  • 升格不影响函数复合的结果

为什么 Space 也有这个方法，而且看起来很相似？同样回到定义上来， Space 是个数组，其元素固定为 Point ，在此情况下，我们也可以把 map 视作函子，将 (p:Point):Point 函数升格到了 (s:Space):Space

在函数式编程中，函子是一个非常有用的工具，在往下继续阅读文章之前，读者应当仔细体会一下函子的有趣之处，并想想自己喜欢的语言中（除了 Haskell 之外）有什么结构是一个函子。

线性变换 ​

现在我们回到空间变换上来，函子确实给我们带来了很多便利，但运算上的复杂不是函子能够解决的。扩散和对称是非常简单的操作，所以我们可以很快写出一个函数来完成这个任务，但如果是旋转、折叠和剪切呢？幸运的是，线性代数可以帮助我们解决这个难题！正常来说，我们只需要考虑空间中的线性变换，非线性变换比较自由，我们无法用一种运算来概括。

而空间中的线性变换都可以通过矩阵表示，所以在开始解释线性变换之前，我们先来认识一下矩阵。（实际上我更认可先学习线性变换后学习矩阵表示的路线，这样可以使你理解更深刻，但这样本篇文章难度和篇幅也会大大增加，如果你手边有教科书是这么讲的，那么看你的教科书就好了！）

矩阵 ​

在数学上矩阵（Matrix）的一个狭义的定义是：矩阵是一个按照矩形排列的复数或实数集合。因为空间变换的实际需要，我们只研究实数矩阵的运算与性质。

下面是一个四行四列的矩阵（可简记为 的矩阵）：

在 TypeScript 中，我们可以实现一个 Matrix Class：

class Matrix {
  rows: number;
  cols: number;
  data: number[][];

  constructor(rows: number, cols: number) {
    this.rows = rows;
    this.cols = cols;
    this.data = new Array(rows).fill(0).map(() => new Array(cols).fill(0));
  }
}

那么矩阵的运算是什么呢？

矩阵运算 ​

矩阵的代数运算顾名思义就是矩阵与数字的运算，我们假设加减乘除为一个运算符 ，那么定义 ，矩阵的代数运算就满足：

class Matrix {
  rows: number;
  cols: number;
  data: number[][];

  constructor(rows: number, cols: number) { ... }

  map(fn: (value: number) => number): Matrix {
    const result = new Matrix(this.rows, this.cols);
    for (let i = 0; i < this.rows; i++) {
      for (let j = 0; j < this.cols; j++) {
        result.data[i][j] = fn(this.data[i][j]);
      }
    }
    return result;
  }
}

其实就是一个函子。

一个更直观的例子比如矩阵的数乘运算()：

用代码实现就是：

mat.map(x => x * 10)

矩阵的加法、乘法运算 ​

矩阵的加法我们不再赘述，两个矩阵对位相加即可（试试用函子实现它）。

矩阵的乘法运算是针对矩阵和矩阵的运算，它的规则如下：

设 为 的矩阵， 为 的矩阵，那么称 的矩阵 为矩阵 与矩阵 的乘积，记作 ，其中矩阵 的第 行第 列元素可以表示为：

公式可能有些隐涩难懂，读者可以写出两个矩阵手动模拟一下该过程，然后再尝试自己手动实现矩阵乘法，就可以清晰的理解矩阵乘法的流程。

const multiply = (matrixA: Matrix, matrixB: Matrix) => {
    if (matrixA.cols !== matrixB.rows) {
      throw new Error('Invalid dimensions for matrix multiplication');
    }

    const result = new Matrix(matrixA.rows, matrixB.cols);

    for (let i = 0; i < matrixA.rows; i++) {
      for (let j = 0; j < matrixB.cols; j++) {
        let sum = 0;
        for (let k = 0; k < matrixA.cols; k++) {
          sum += matrixA.data[i][k] * matrixB.data[k][j];
        }
        result.data[i][j] = sum;
      }
    }

    return result;
  }

在体素几何变换中的应用 ​

读完前文的基本线性代数知识，读者很可能会想：这和高中阶段的向量的叉乘、点乘很相似！

是的，狭义的矩阵可以被认为是向量的高维抽象，而我们前面定义的 Point 正是一个标准的矢量。

那么如果我们把很多 Point 拼接成 Space(Space) (也就是最后的几何体)，就等同于很多三维矢量连接起来，成为一个 矩阵！

接下来我们就可以把一些针对矩阵的线性变换应用到几何体上：

move ​

move 操作指对于一整个 Space 给出一个偏移向量 ，对空间根据偏移量进行偏移。

采用矩阵我们可以轻易的概括该操作：

diffusion ​

diffusion 操作指对于一整个 Space 给出一个偏移向量 ，对空间根据偏移量进行散射。

采用矩阵我们可以轻易的概括该操作：

rotate ​

rotate 操作指对于一整个 Space 给出一个方向角 ，对空间根据方向角旋转。

采用矩阵我们可以轻易的概括该操作：

这就是线性代数在体素集合中参与线性变换的一些简单的例子，当然如果我们需要用代码来实现，需要预先准备一个底层抽象——线性代数运算库，笔者手动实现了一个可以满足自身需求的，读者也可以选用现有的很多优秀的开源库。

步入高维几何 ​

旋转矩阵 ​

向低维投影 ​